背理法とは、あることを証明するのに、それが成り立たないという間違った仮定をして、矛盾を導き出し、矛盾が起きたのは最初の仮定が間違っているからだ、とする証明法のこと。数学の証明には、この背理法のほか、数学的帰納法など、さまざまな手段がある。
ピタゴラス学派の人物が、背理法をつかって、√２が無理数（整数と自然数の比で書き表せる数）であることを証明した。
ところが、ピタゴラス学派の人達は「万物は数である」という考えから、すべての数は自然数の比で成り立つと信じていた。
そこに、この無理数の証明である。
彼らの教義をすべて否定する大事件となった。あわてたピタゴラスたちは無理数を発見してしまった弟子を密かに処刑してしまったと伝えられているが、真偽のほどは定かではない。このように多分に秘密結社的なピタゴラス学派ではあるが、数学上の貢献は非常に高い。
「√２は無理数である」ことの証明
・√２が無理数ではないと仮定する
√２は有理数なので、たがいに素な（１以外に公約数を持たない）２つの自然数、ｍ、ｎを用いて
√２＝ｍ/ｎ と表すことが出来る（つまり比で表せる）
よって、ｍ＝√２ｎとなり、両辺を平方すると
ｍ二乗 ＝２n二乗 ――――――（１）
ゆえに、ｍ二乗は偶数、したがってｍも偶数である。
よって、ｋを自然数とするとｍ＝２ｋとも書ける。
これを（１）に代入して
（２ｋ）二乗 ＝２ｎ二乗
ゆえに、４ｋ二乗＝２ｎ二乗、すなわち２ｋ二乗＝ｎ二乗
よってｎ二乗は偶数、したがってｎも偶数である。
ところが、このことはｍ、ｎが互いに素であることに矛盾する。
したがって√２は無理数である
（証明終わり）
ＨＴＭＬで二乗とか√の数式を表示できるんだけど、やりかたがイマイチ分からない。。。
読みにくいことこの上なし！
